Limites de suites - Spécialité

Manarie et Monica jouent à un jeu, toutes les deux ont la même probabilité de gagner la première partie. En revanche, si Manarie gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la suivante est \(0,6\) ; si elle perd, la probabilité qu'elle perde la suivante est \(0,8\).
\(n\) étant un entier naturel non nul, on note \(G_{n}\) l'événement : «Manarie gagne la n-ième partie».
Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.

Calculer la probabilité \(G_{2}\) noté \(P(G_{2})\)

Sachant que Manarie a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité qu'elle ait gagné la première ?

On suppose, ici, qu'elles font plusieurs parties. \(n\) étant un entier naturel non nul, on note : \(p_{n} = P(G_{n})\).

Exprimer \(p_{n + 1}\) en fonction de \(p_{n}\)

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(v_{n} = p_{n} - 1/3\).
Exprimer \(v_{n + 1}\) en fonction de \(v_{n}\).

Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).

Exprimer \(p_{n}\) en fonction de \(n\).

Déterminer la limite de la suite \(p_{n}\).

Consommation d'antibiotiques

En l'an 2000, les ventes d'antibiotiques s'élevaient en France à 194 millions de boîtes. La consommation abusive d’antibiotiques s'est traduite par un développement des résistances bactériennes. Cette question préoccupe encore aujourd’hui les autorités sanitaires. En France, un plan national a été engagé en 2001 sur le thème «les antibiotiques, c'est pas automatique».
On a constaté que, de 2000 à 2015, la vente de boîtes d’antibiotiques en France a baissé chaque année de 3%. On suppose, dans cet exercice, que la baisse de 3% par an va se poursuivre jusqu’en 2100. On étudie ce modèle.

Le nombre de boîtes d’antibiotiques vendues sera exprimé en millions de boîtes, arrondi si nécessaire, à \( 10^{-3} \).
On modélise le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues en France à l’aide d’une suite numérique \( (u_n) \).
On note \( u_0 \), le nombre (en millions) de boîtes d'antibiotiques vendues en France en l'an 2000.
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( u_n \) une estimation, dans le modèle choisi, du nombre (en millions) de boîtes d'antibiotiques vendues en France pendant l'année 2000 + \( n \).
On a donc \( u_0 = 194 \).

À combien de millions peut-on estimer le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues en 2001 selon le modèle choisi ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).

Quelle est la nature de la suite \( (u_n) \) ?

Déterminer sa raison.

Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \), pour tout entier naturel \( n \).

Résoudre l'inéquation : \[ 194 \times 0,97^{x} \leq 148 \]
On donnera la réponse exacte sous la forme \( x \leq ... \) ou \( x \geq ... \) et en utilisant, si nécessaire, le logarithme népérien.

En utilisant le modèle choisi, déterminer à partir de quelle année le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues sera inférieur à 148 millions.

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 1\\ u_{n+1} = 6 + 4n + \dfrac{1}{3}u_n \end{cases} \]Calculer \(u_1\).

Calculer \(u_2\).

Calculer \(u_3\).

Calculer \(u_4\).

On peut conjecturer que :

Calculer \(u_{n+1} - u_n\)

On définit \(\left(v_n\right)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \[ v_n = u_n -6n \]Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)

Exprimer \(v_n\) uniquement en fonction de n.

Exprimer \(u_n\) uniquement en fonction de n.

Pour tout entier naturel non nul n, on pose : \[ S_n = \sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + ... + u_n \] \[ T_n = \frac{S_n}{n^2} \]Exprimer \(S_n\) en fonction de n.

Déterminer la limite de la suite \(\left(T_n\right)\).

À l’automne 2021, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d’un terrain de \( 2200 m^2 \) entièrement engazonné.
Mais tous les ans, 40 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse.
Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de \( 80 m^2 \) et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel \( n \), on note \( u_n \) la surface en \( m^2 \) de terrain engazonné au bout de \( n \) années, c’est-à-dire à l’automne 2021 + \( n \).
On a donc \( u_0=2200 \).

Calculer \( u_1 \).

Écrire \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).

On considère la suite \( (v_n) \) définie pour tout nombre entier naturel \( n \) par : \( v_n = u_n - 200 \).

\( (v_n) \) est une suite géométrique. Donner sa raison.

Donner son premier terme.

Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \).

Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).

Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 8 années ?
On donnera une réponse arrondie à \( 0,01 m^2 \) près.

Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel \( n \) telle que :
\( 200 + 2000 \times 0,6^{n} \lt 208 \)

Calculer la limite de \( (u_n) \) quand \( n \to +\infty \).

Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ?

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite \( (u_n) \), définie pour tout entier naturel \( n \) non nul, par : \[ u_n = 1750 \times 1,001^{n -1} \]

On a ainsi \( u_1 = 1750 \) et \( u_2 = 1751,75 \), c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 1750 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 1751,75 euros.Calculer \( u_3 \).
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.

Calculer le coût total de forage des 30 premiers mètres.
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.

Soit \( n \) un entier naturel non nul.

Exprimer \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).

Quelle est la nature de la suite \( (u_n) \) ?

En déduire le pourcentage d'augmentation du coût de forage de la \( (n+1) \)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la \( n \)-ième dizaine de mètres.

On considère l'algorithme ci-dessous :

On fait fonctionner l'algorithme précédent en donnant \( 6 \) comme valeur à \( n \).

Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous.
On utilisera des valeurs exactes pour toutes les étapes de calcul. En revanche pour remplir le tableau, on écrira des valeurs arrondies au centième.

Quelle est la valeur de \( S \) affichée en sortie ? On note cette valeur \( S_f \).
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.

À quoi correspond cette valeur dans le contexte de l'exercice ?

On note \( S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n \) la somme des \( n \) premiers termes de la suite \( (u_n) \), \( n \) étant un entier naturel non nul.
On admet que : \[ S_n = -1750000 + 1750000 \times 1,001^{n} \]
Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 50000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.

Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation...).